11 Temmuz 2008, Cuma

Ap Calculus M.ö. Sınav: 2008 1 C Ve D

-Taylor teoremi ve Taylor polinomları hakkındaki videoya hoşgeldiniz.-Buna daha önce değinmiştik.Fonksiyonlara polinomla yakınsama videolarında, Taylor serisinin özel bir durumu olan Maclaurin serisini kullanmıştık.---Maclaurin serisini bulduğumuzda, fonksiyona x eşittir 0'da yakınsama sağlıyoruz.-Ama, esasında, bir fonksiyona herhangi bir değerde yakınsayabiliriz.-Eğer 0 dışında br değerde yakınsarsak, daha genel bir polinom bulmuş oluruz ve adına, Taylor polinomu deriz.--Taylor polinomu nedir?Tanımı yazayım. Sonra birkaç örnek yapalım ve grafiğini çizerek mantığını anlayalım.--Türevli bir f

x fonksiyonum varsa ve ona, x eşittir c değerinde, bir polinomla yakınsamak istiyorsam, Taylor polinomu bulurum.---Önce, çabucak zor bir fonksiyon çizeyim. Sonra, daha düzgün bir fonksiyon çizeriz.-Bunlar eksenler

im, bu da f x fonksiyonu.-Bir c değeri seçebilirim. x eşittir c, burada olabilir.-İşte c.Fonksiyona bu nokta civarında yakınsamak istiyorum. Fonksiyona bu nokta civarında yakınsayan bir polinom yaratmak

“2008 AP Calculus BC serbest yanıt parçaları c sorunun 1 d Http://www.khanacademy.org/video?v=_l0Mfsu__gU: En fazla ücretsiz dersler...”
Khan Academy

istiyorum.-Taylor teoremine göre oluşacak Taylor polinomuna p x diyelim. Mantığını biraz sonra anlatacağım.--p x.Çok karışık görünüyor, ama örnek yaptığınızda, o kadar da zor olmadığını görüyorsunuz.-p x eşittir, f c artı f üssü c, çarpı x eksi c, artı f'nin c'deki ikinci türevi,bölü 2 faktöriyel, ki bu sadece 2, ama 2 faktöriyel yazayım.--Örüntüyü görebilesiniz diye böyle yazıyoruz.Aslında, bu, bölü 1 faktöriyel, bu da bölü 0 faktöriyel.-Çarpı x eksi c, kare, artı, f'nin c

Ap Calculus M.ö. Sınav: 2008 1 C Ve D Resim 1 Ap Calculus M.ö. Sınav: 2008 1 C Ve D Resim 2 Ap Calculus M.ö. Sınav: 2008 1 C Ve D Resim 3 Ap Calculus M.ö. Sınav: 2008 1 C Ve D Resim 4

'deki üçüncü türevi, parantez içinde 3 yazabiliriz, bölü 3 faktöriyel, çarpı x eksi c küp.---Böyle sonsuz adet terim ekleyebilirsiniz.-Size bunun mantığını anlatacağım.Bir sonraki terimi de bulayım da, yöntemi iyice anlayalım.Artı f'nin c'deki dördüncü türevi, bölü 4 faktöriyel, çarpı x eksi 4, üzeri 4.--Peki, mantığı nedir?Öncelikle, polinoma c değerinde ne oluyor?p c nedir?p c'yi bulmak için, x gördüğünüz her yere c koymalısınız, öyle değil mi?-O zaman, bu terim c eksi c olurdu. Yani 0 olurdu.-Bu terim de c eksi c, 0 o

lurdu.Ve, bu terim de yine c eksi c, 0 olurdu.Bu terim de c eksi c, 0.Elimizde sadece f c kalır.-Çok iyi.c değerinde, polinomun fonksiyona eşit olduğunu, artık, biliyoruz.-Fonksiyon, şu doğruyu kesecek.Öyle değil mi?Taylor polinomumuzun sadece bu ilk terimi olsaydı, bu polinom neye benzerdi?-Grafiği sadece şuradaki yatay doğru olurdu.Pek kötü bir yakınsama olurdu.Peki, bu ikinci terim bize neyi veriyor?Polinomun c'deki değerini bulduğumuz için, diğer tüm terimler sıfırlanıyor.-Ama, bu terimler bize ne verir?İkinci terim, polinomun c'deki türevinin, fonksiyonun c'deki türevine eşit olmasını sağlar.--Bununla neyi kastediyorum?p üssü x nedir?Bu, sabit bir terim. Fonksiyona benzeyebilir, ama, aslında, c'deki fonksiyon değeri olduğu için, sabit bir terim.--O yüzden de türevi 0.Peki, bu nedir?Bunun türevi nedir?Bu da sabit, ve türevi sadece 1.-Bunu, f üssü c çarpı x olarak da düşünebilirsiniz, eksi f üssü c, çarpı c, ki o da sabit.-Bu ifadenin türevi, f üssü c, artı bu ifadenin türevi. Peki bu nedir?--2 bölü 2 faktöriyel eşittir 1.Yani, f'nin c'deki ikinci türevi, çarpı x eksi c.-Artı, 3 bölü 3 faktöriyel, 3 bölü 6, paydada 2 olacak.-f'nin c'deki üçüncü türevi, bölü 2, çarpı x eksi c, kare.-Ama, bunları düşünmenize gerek yok.Böyle devam edebiliriz.Siz bir şey göstermek istiyorum.f üssü c nedir?f üssü c.Bu polinomun c'deki türevi nedir?-Bu türev fonksiyonuna c'yi koyduğumuzda, tüm şu terimler sıfırlanır. Sadece bu terim kalır.--Öyle değil mi?--Buradaki x eksi c'ye c koyarsak, sıfırlanır.Buna göre, polinomun c'deki türevi, f üssü c'ye eşit.-Bu Taylor polinomunun c'deki değeri, fonksiyonun değerine eşit. c'deki türevi de fonksiyonun türevine eşit. Polinomun c'deki ikinci türevi de fonksiyonun ikinci türevine eşit.---Taylor polinomuna eklediğiniz her terim, o terimin mertebesindeki polinom türevinin, fonksiyonun türevine eşit olmasını sağlar.--Umarım, kafanızı karıştırmadım.Taylor polinomunun temelinde inanılmaz bir fikir yatıyor.-Eğer bu fonksiyonun her mertebeden türevi alınabiliyorsa, oluşturduğum polinoma terimler ekledikçe, polinom ve fonksiyonun c'deki her mertebeden türevini eşitleyebilirim.--------Aslında, Taylor polinomunun, her noktada fonksiyona eşit olduğunu göreceğiz. Ve bu özelliği taşıyan fonksiyonları bulacağız.---Neyse.e üzeri i pi eşittir eksi 1'i ispatladığımız zaman, bu konudan biraz daha bahsedeceğim. Bence, bu, matematikte bulunmuş en inanılmaz sonuç.--Neyse.Bu size biraz karışık gelmiş olabilir, o nedenle bir örnek yapalım.--Örnekler daha eğlenceli.-Bir örneği nasıl yaptığımı görünce, çok da kötü olmadığını anlayacaksınız.-Şu dördüncü terimi sileceğim.-Kosinüs x'e yakınsayalım.--f x eşittir kosinüs x'e yakınsıyoruz.Herhangi bir sayı seçelim.Trigonometrik değeri basit olmayan bir sayı seçelim.-Örneğin 2. Yok, 1.-Şimdi, kosinüs x'e 1 civarında yakınsıyoruz.O zaman, Taylor polinomu nedir?-Şimdi prosedürü uygulayalım.-p x eşittir f c.Fonksiyonun c'deki değeri eşittir kosinüs 1, artı f üssü c.-Kosinüs x'in türevi nedir?Eksi sinüs x'tir, öyle değil mi?Eksi sinüs x, ve c'deki değerini bulacağız.Yani, eksi sinüs 1, öyle değil mi? c eşittir 1 civarında yakınsıyoruz.-Çarpı x eksi c.Artı, ikinci türev.İkinci türev nedir?Eksi sinüsün türevi, eksi kosinüs x.-Eksi kosinüs.c'deki değerini buluyoruz. Bu da sayı olacak, öyle değil mi*-c eşittir 1.Kosinüs 1.Bölü 2, öyle değil mi?2 faktöriyel eşittir 2.Çarpı x eksi 1, kare. Pardon, şu 1 olmalı, öyle değil mi?-c eşittir 1, demiştim.Çarpı, x eksi 1, kare.Devam edelim.Artı,üçüncü türev, kosinüsün üçüncü türevi nedir?-Eksi kosinüsün türevi, yani burası artı.-Artı sinüsün 1'deki değeri.Sinüs 1.Bölü 3 faktöriyel, 6, yani bölü 6 çarpı x eksi 3, küp.-Pardon.x eksi 1, küp, öyle değil mi?Bir terim daha yapalım.Dördüncü türevi alıyoruz. Üçüncü türevin türevi. Üçüncü türev, artı sinüstü. O zaman, dördüncü türev, artı kosinüs.---Artı kosinüs 1, bölü 4 faktöriyel.4 faktöriyel nedir?3 faktöriyel çarpı 4.Yani, bölü 24.Çarpı x eksi 1, üzeri 4.Böyle devam edebiliriz.1'deki beşinci türev, bölü 5 faktöriyel, çarpı x eksi 1, üzeri 5. Ve, eklemeye devam edin.---Bu neye benzer?Şimdi, size, terim ekledikçe, bu polinomun nasıl oluştuğunu göstereceğim.-Şimdi bakalım.my.hrw.com'dan edindiğim şu grafikli hesap makinesini kullanalım.-Bu, kosinüs x'in grafiği.Birinci terim.Kosinüs 1.Bu polinomun sadece ilk teriminin grafiğini çizsek, neye benzerdi?-Kosinüs 1 yazayım ve grafiğini çizeyim.İşte böyle.Polinomun sadece ilk terimi.Bu terimler olmasaydı, bu polinom sadece sabit bir fonksiyon olurdu, öyle değil mi?-Kosinüs 1.Bayağı kaba bir yakınsama oldu. Ama, en azından, bu noktada fonksiyona eşit.-Bir başlangıç.Şimdi terimler ekleyelim.İkinci terimi ekliyoruz.İkinci terim neydi?Eksi sinüs 1, çarpı x eksi 1.Bunu ekleyelim.-Grafiğini çizsin.İşte böyle.Çok güzel.İki terim varken, ne oluyor demiştik?Polinomun 1'deki değeri fonksiyon değerine eşit.Ve şimdi, eğimler de birbirine eşit.Polinomun 1'deki eğimi, fonksiyonun 1'deki eğimine eşit.-Yani, bu daha iyi bir yakınsama.En azından c'ye yakın değerler için oldukça iyi bir yakınsama.-c'den uzaklaştıkça, değerleri doğruluğu da azalacak.-Terim eklemeye devam edelim.Terimleri yazdığımı size göstermek istiyorum.-Bir sonraki terimi yazayım.---Bir sonraki terim, eksi kosinüs 1, bölü 2, çarpı x eksi 1, kare.-Grafiğini çizeyim.Tamam.Üçüncü terimi ekledim, ve şimdi grafiğe bakıyoruz.-Çok güzel, değil mi?Birinci terim bize, fonksiyonu kosinüs 1'de kesen bir yatay doğru verdi. Pek iyi bir yakınsama değildi.--İkinci terim, birinci türevlerin eşit olmasını sağladı.-Elde ettiğimiz doğru, teğet doğrusuydu. Yalnızca, iki terimimiz vardı.-Üçüncü terim, 1'deki ikinci türevlerin eşit olmasını sağlıyor.--Dikkat ederseniz, yeşil grafik konkav, öyle değil mi?-Bu demektir ki, fonksiyon da, x eşittir 1'de, konkav.-Burada, eğriye daha iyi yakınsıyor.--Sol tarafa gittiğimizi hatırlıyorsunuz.Buralarda, fonksiyona daha iyi yakınsamaya başlıyor.-Öyle değil mi?Bir önceki durumda, doğru yukarıya çıktıktan sonra, değerlerimiz çok uzaklaşmıştı.-Bir terim daha ekleyelim.Dördüncü terimimizi ekleyelim.Şuradaki terim.Artı sinüs 1, bölü 6, çarpı x eksi 1, küp.-İşte, şuraya yazdım.-Grafiğini çizeyim.Çok güzel.Polinomumuzda sadece dört terim var.---Fonksiyona yakınsamamız gelişmeye başladı, öyle değil mi?-Şimdi, x eşittir 1'de, fonksiyon ve polinomun üçüncü türevleri de aynı.--Bunu, türevin eğriliği olarak düşünebiliriz.-Her neyse, fonksiyona daha iyi yakınsadığını görüyoruz.-1'den uzaklaştıkça, polinom değerleri, fonksiyon değerlerinden ayrılıyor.-Ama,yine de, yeterince yakın gibi.Şu aralıkta, fonksiyonla, polinom değerleri neredeyse tamamen aynı.-Bulduğumuz son terimi ekleyelim.Çok ilginç olacak.Bakalım.Son terim.Artı kosinüs 1, bölü 24.Terimlerdeki katsayıların gittikçe küçüldüğüne dikkat edin: 1, 1 bölü 2, 1 bölü 6, 1 bölü 24.--Ve, eklenen terimlerin önemi, c'den uzaklaştıkça ortaya çıkıyor.-Bu örnekteki c, 1, evet.Seçtiğiniz noktaya yakın iken, şu terimlerin önemi yok, öyle değil mi?--1 bölü 24, 1 bölü 5 faktöriyel, vesaire, sebebiyle.-Ama, uzaklaştıkça, bu terimlerin önemi artıyor, öyle değil mi?-x 1'den uzaklaştıkça, bu terimlerin öneminin arttığını görüyorsunuz.--Neyse, grafiğini çizeyim.Kosinüs 1, bölü 24, çarpı x eksi 1, üzeri 4Grafiğini çizeyim.-Daha da süper oldu!Boş zamanınızda, buna terim eklemeyi deneyin.-İşte, Taylor polinomu bu.Bu, yaptığım videoların en uzunlarından biri oldu.-17 dakikaya yaklaştım.İlk başta, biraz karışık gelmiştir. Kocaman bir formül. c sayısı size verildi, diyelim. c'deki türevi almak, kafa karıştırıcı olabilir.--Ama, işlemleri yapmaya başladıktan sonra, farkına varıyorsunuz ki, yaptığınız sadece bir polinom oluşturmak.-Sadece, polinomla fonksiyonun bir c noktasındaki değerleri ve her mertebeden türevlerinin aynı olmasını sağlıyorsunuz.---10 terim falan yazsak, polinomla fonksiyonun grafiklerinin neredeyse tamamen aynı olmaya başladığını görebiliriz.-Umarım, kafanızı karıştırmadım.İlk gördüğünüzde formül biraz korkutucu gelebilir. Biri size anlattığında, daha bile korkutucu görünebilir.--Ama, umarım, mantığını biraz gösterebildim.Gösteremediysem, bu videoyu yok sayın.Yakında görüşürüz

Açıklama

2008 AP Calculus BC serbest yanıt parçaları c sorunun 1 d Http://www.khanacademy.org/video?v=_l0Mfsu__gU: En fazla ücretsiz dersler

Bunu Paylaş:
  • Google+
  • E-Posta
Etiketler:

Khan Academy

Khan Academy

Misyonumuz, her yerde herkes için dünya standartlarında bir eğitim sağlamak. Tüm Khan Academy içerik www.khanacademy.org adresinden ücretsiz olarak sunulmaktadır.

YORUMLAR



9.5/10

  • 41
    Olumlu
  • 2
    Olumsuz
  • 9
    Yorum
  • 20293
    Gösterim

SPONSOR VİDEO

Rastgele Yazarlar

  • 07cadikiz07

    07cadikiz07

    17 EKİM 2007
  • ☆ SUB4SUB CENTER! ☆ spam here

    ☆ SUB4SUB

    22 ŞUBAT 2010
  • PamtheBlamofficial

    PamtheBlamof

    31 Aralık 2010

ANKET



Bu sayfa işinize yaradı mı?