beşinci türev yine 0 olacak.-Türev aldıkça, hangi örüntüyü görüyoruz?1, 0, eksi 1, 0, 1, 0.0'la 1 arasında değişiyor.Yani, 1, 0, eksi 1, 0, pozitif, 0, negatif, 0, pozitif.-Ardışık iki sayıdan biri 0 ve arada, dönüşümlü olarak, artı 1 ve eksi 1 var.-Şimdi, bu bilgiyi kullanarak, Maclaurin gösterimini bulalım.--Henüz, tüm tanım kümesinde yakınsama olduğunu ispatlamadık.-Söylediğime inanmalısınız.Birkaç video sonra, grafikli hesap makinesiyle denemeler yapacağız.-Maclaurin serisini bulduğumuzda, sonsuz toplamı aldığımızda,

fonksiyona seçtiğiniz noktada eşit olan bir başka fonksiyon yaratıyoruz.----Maclaurin serisinde, x eşittir 0 noktasını alıyoruz. Ve, orijinal fonksiyonun türevlerine, oluşturduğumuz fonksiyonun türevlerini eşitliyoruz.-Mantıksal olarak, bir fonksiyon ve o fonksiyonun tüm türevleri, belli bir noktada, başka bir fonksiyon ve türevlerine eşitse, belki de iki fonksiyon birbirine eşittir, diye düşünebiliriz.---Bunu henüz size ispatlamadım.Gösterimin, n eşittir 0'dan sonsuza, f'nin 0'daki n'inci türeviyle ilgili bir toplam olduğunu biliyoruz.-Maclaurin serisi, Taylor serisinin özel bir durumudur.Daha Taylor serisi yapmadık, sonra o konuya da değinmeyi umuyorum.-Ama, Maclaurin serisi gerçekten ilginç. Çünkü, e, kosinüs, sinüs, i ve Pi arasındaki bağlantıları bize gösterecek. Ve, bunu çok heyecan verici bulacaksınız---Maclaurin serisinde, bu çarpı x üzeri n, bölü n faktöriyel var.Böyle demiştik.Bu, bizim f x'imiz. f x eşittir kosinüs x. Peki, bu neye dönüşüyor?-f x eşittir, f 0 çarpı x üzeri 0, bölü 0 faktöriyel, yani 1, öyle değil mi?-Artı, şimdi n eşittir 1.0'daki birinci türev.f üssü 0 eşittir 0.Burası, x üzeri 1, öyle değil mi?-Şimdi, ikinci türevdeyiz.0'daki ikinci türev eşittir eksi 1.Eksi 1 çarpı x kare, bölü 2 faktöriyel, artı 0'daki üçüncü türev.-0'daki üçüncü türevi, 0 olarak bulmuştuk.0'ı neyle çarparsak çarpalım, sonuç 0.Ama, yanındaki x küp, bölü 3 faktöriyel olacaktı.Dördüncü türev nedir?0'daki dördüncü türev, 1'e eşit.O zaman 1 çarpı x üzeri 4, bölü 4 faktöriyel.--Bir sonraki terim, 0'daki beşinci türev, çarpı x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel.-Böyle devam ediyoruz.Sanıyorum, örüntü ortaya çıktı.-0'ları sileyim. f x eşittir kosinüs x eşittir, 1 eksi x kare, bölü 2 faktöriyel.--Bu terim gitti, çünkü 0'a eşit.-Bir sonraki terim, pozitif.Artı x üzeri 4, bölü 4 faktöriyel.Beşinci terim de gitti.Ve döngü devam eder.Bir sonraki terim, eksi olacak.Çünkü, eksi 1, artı 1 gidiyordu.Eksi x üzeri 6, bölü 6 faktöriyel olacak.Altıncı türevi alabilirsiniz.Eksi sinüs x'in türevinin, eksi kosinüs x olduğunu görürsünüz.O nedenle, eksi 1 elde ediyorum.Ve sonra, artı oluyor.Sadece çift dereceli terimler var, x üzeri 8, bölü 8 faktöriyel, eksi x üzeri 10, bölü 10 faktöriyel.-Bu şekilde devam edebiliriz.Varsayımımıza göre, bu Maclaurin serisi, tüm tanım kümesi için, kosinüs x'e yakınsıyor.---Umarım, bir gün bunu ispatlayacak düzeye erişiriz.-n eşittir 0'la başlıyorum.Şimdi ne oldu?Çift üsleri alıyoruz.x üzeri 2n diyebiliriz. Böylece, n yerine ne koyarsam koyayım, çift üs elde ederim.-0'ıncı kuvvet, ve sonra ikinci kuvvet, bölü 2n faktöriyel.-Bu, 1, x kare bölü 2 faktöriyel, x üzeri 4, bölü 4 faktöriyel, x üzeri 6 bölü 6 faktöriyel, ve benzeri terimleri kapsar.--Şimdi, işaretlerin dönüşümünü düşünmemiz gerekiyor.Eksi 1'in kuvvetini ekleyelim.Bakalım, ne yapabiliriz.İlk terimin pozitif, ikinci terimin negatif olmasını istiyoruz.-O zaman, çarpı, eksi 1 üzeri n artı 1, diyebiliriz.İşe yarıyor mu, bakalım.n 0 ise, eksi 1 üzeri n artı 1 nedir?n 0 ise, eksi 1 olur.İfademiz, eksi 1 üzeri n olacak.-Çünkü, n 0 olduğunda, eksi 1 üzeri 0, 1 olur.n 1 olunca, eksi 1.Bu, tamam.Yani, eksi 1 üzeri n.Siz de deneyebilirsiniz.Burada, n eşittir 0.-n 0 olduğunda, x üzeri 0, bölü 0 faktöriyel elde ederiz, ki o da 1'dir.-Eksi 1 üzeri 0 eşittir 1. Bu da 1 olur.n 1 olduğunda, x kare bölü 2 faktöriyel elde ederim. Bir de eksi 1 üzeri 1 var, o da eksi 1'i verir.--Sonra, n 2 olduğunda, eksi 1'in karesini alırım, ve yine, artı olur.-Dönüşümlü sayıları, eksi 1 sağlar.-Çok güzel.Kosinüs x'i göstermenin farklıı bir yolunu bulduk.--Bu size ilginç gelebilir. Biraz da, e üzeri x'in gösterimine benziyor.--Bununla e üzeri x'in arasındaki fark nedir? e üzeri x'te tek üslü terimler de vardı ve işaretler değişmiyordu--Bunun dışında, neredeyse aynılar.Bir sonraki videoda, sinüs x'i yapacağız ve sonra da hepsini birleştirmeye çalışacağız.-Yakında görüşürüz