17 Mayıs 2011, Salı

Kosinüs Taylor Serisi 0 (Maclaurin)

Son videoda Maclaurin serisinin ne olduğunu size anlatmaya çalıştım ve videonun sonunda Maclaurin serisinin Taylor serisinin özel bir durumu olduğunu söylemiştim.-Maclaurin serisinde fonksiyona x eşittir 0 etrafında yakınsıyoruz.Taylor serisinde ise yakınsamak için herhangi bir x değeri seçebiliriz. Bu konuya ileride değineceğiz.-Şimdi Maclaurin serisine odaklanalım, çünkü daha kolay ve bizi çok temel sonuçlara ulaştıracak.-Zaten benim amacım da bu sonuçları elde etmek.Bazı ilginç fonksiyonların Maclaurin serisini bulalım.Tekrar tekrar türev alacağım için türevi kolay alınan fonksiyonlar seçeceğim.-Şi

mdi f x eşittir kosinüs x'in Maclaurin serisini bulalım.Son videoda çıkardığımız formülü kullanmadan önce, f x'in türevlerini bulalım.--Birinci türevi alırsak, kosinüs x'in türevi eksi sinüs x'tir.Eğer bun

un türevini alırsak, sonra türevin de türevini alırsak, sinüs x'in türevi kosinüs x'tir. Burada eksi olduğu için, eksi kosinüs x olur.-Bunun da türevini alırsak, yani kosinüs x'in üçüncü türevi, artı sinü

“Yaklaşan f (x) Maclauren Serisi (x = 0 Taylor serisinin özel durum) kullanarak cos x = Http://www.khanacademy.org/video?v=WWe7pZjc4s8: En fazla ücretsiz dersler...”
Khan Academy

s x olacak. Tekrar türev alırsak, kosinüs x elde ederiz.--Yine kosinüs x bulduk. Bu dördüncü türevi aldığımızda, bu notasyonu kullanmalıyım ama anladınız diye düşünüyorum, yine kosinüs x olur.--Bir önceki videoda konuştuklarımıza bakarsak, bu fonksiyonun ve türevlerinin 0'daki değerlerini bulmam gerekiyor.-Fonksiyonun 0'daki değerini bulalım. f 0, kosinüs 0 eşittir 1.Değerin 0 radyan veya 0 derece olması fark etmez.Sinüs 0 eşittir 0, yani f üssü 0 eşittir

Kosinüs Taylor Serisi 0 (Maclaurin) Resim 1 Kosinüs Taylor Serisi 0 (Maclaurin) Resim 2 Kosinüs Taylor Serisi 0 (Maclaurin) Resim 3 Kosinüs Taylor Serisi 0 (Maclaurin) Resim 4

0. Sonra, kosinüs 0 yine 1 olduğundan, buradaki eksiyle, eksi 1 buluyoruz.-Böylelikle f'nin 0'daki ikinci türevi, eksi 1.Şimdi f'nin 0'daki üçüncü türevinin değerini bulalım.Sinüs 0 eşittir 0. Dördüncü türevde ise, kosinüs 0 eşittir 1.Yani f üssü üssü üssü üssü 0 yine 1.Burada ilginç bir örüntü görüyoruz - 1, 0, eksi 1, 0, 1.Sonra 0, eksi 1, 0.Bunu Maclaurin serisine uygularsak, ne elde ederiz?Kosinüs x'e polinomla yakınsıyoruz. f 0 eşittir 1, artı f üssü 0 çarpı x.--Fakat f üssü 0 sıfıra eşit, bu nedenle bu terimi y

azmayacağız. 0 çarpı x'i yazmaya gerek yok.-Artı f üssü üssü, yani eksi 1, çarpı x kare bölü 2 faktöriyel. 2 faktöriyel 2'ye eşit.---Örüntüyü daha iyi anlamanız için, ben bunu 2 faktöriyel olarak yazacağım.Bir sonraki terime geçiyoruz. 0'daki üçüncü türev.0'daki üçüncü türev 0'dır, o nedenle bu terimi de yazmıyoruz.Ve dördüncü türeve geçiyoruz. 0'daki dördüncü türevin değeri, artı 1. Bu katsayı 1 olacak. 1 çarpı x üzeri 4 bölü 4 faktöriyel. Sanıyorum örüntüyü görmeye başladınız.---İşaret değişimi var -devam ettiğinizde bunu göreceksiniz, bana inanmıyorsanız, doğruluğunu kendiniz kanıtlayabilirsiniz.-Yani artı eksi artı eksi diye gidiyor. Bu, 1 çarpı x üzeri 0. Sonra, x kare terimine atlıyoruz ve sonra da, x üzeri 4 terimini buluyoruz.--Devam edersek, eksi x üzeri 6 bölü 6 faktöriyel, artı x üzeri 8 bölü 8 faktöriyel, eksi x üzeri 10 bölü 10 faktöriyel olarak yazarız.---Bu seriyi sürdürdüğümüzde de, kosinüs x'in polinom olarak gösterimini bulmuş oluruz. Kosinüs x'in bu şekilde gösterilebilmesi bence süper bir olay.-Bir trigonometrik fonksiyon için, son derece basit bir örüntü elde etmiş olduk.Bir kez daha matematiksel kavramların nasıl birbiriyle bağlantılı olduğunu görmüş olduk.Bundan birkaç video sonra ise, bu bağlantının hayalimizin ötesinde bir derinliği olduğunu keşfedeceğiz

Açıklama

Yaklaşan f (x) Maclauren Serisi (x = 0 Taylor serisinin özel durum) kullanarak cos x = Http://www.khanacademy.org/video?v=WWe7pZjc4s8: En fazla ücretsiz dersler

Bunu Paylaş:
  • Google+
  • E-Posta
Etiketler:

Khan Academy

Khan Academy

Misyonumuz, her yerde herkes için dünya standartlarında bir eğitim sağlamak. Tüm Khan Academy içerik www.khanacademy.org adresinden ücretsiz olarak sunulmaktadır.

YORUMLAR



9.8/10

  • 205
    Olumlu
  • 4
    Olumsuz
  • 7
    Yorum
  • 155945
    Gösterim

SPONSOR VİDEO

Rastgele Yazarlar

  • Bratayley

    Bratayley

    30 Aralık 2010
  • Howard Pinsky

    Howard Pinsk

    6 AĞUSTOS 2006
  • jat4011

    jat4011

    16 EKİM 2010

ANKET



Bu sayfa işinize yaradı mı?