.-Yapmam gereken şey uzaklık fonksiyonunun türevini almakve bu türevin ya da anlık eğimin 0 olduğu açıyı hesaplamak.--Ve böylece cismi hangi açıyla atmamız gerektiğini buluruz.-Şimdi uzaklık fonksiyonunun türevini alalım.Türev kurallarını kullanacağız.--s ve g’nin sabit olduğunu varsayıyoruz-ve bu durumda 2(s^2) bölü g de sabittir.-Cos(teta) çarpı sin(teta) nın türevini almak için çarpım kuralını uygulayacağız.-Çarpım kuralına göre önce, ilk fonksiyonun türevini alıp ikinci fonksiyon ile çarparız.-Cos(teta)nın türevi -sin(teta) dır .-

Çarpma işlemini de yaptığımızda sonucu -sin(teta) çarpı sin(teta) buluruz.--Sonrasında ikinci fonksiyonun türevini alırız.sin(teta)nın türevi cos(teta)dır ve cos(teta)yı da ilk fonksiyonla çarparız.-Sonuç olarak cos(teta) çarpı cos(teta) buluruz.Ve bu iki sonucu toplarız.Bunun biraz kafa karıştırıcı olduğunu biliyorum.Özetlersek: ilk fonksiyonunun türevini alıp ikinci fonksiyonla çarptım-ve ikinci fonksiyonun türevini alıp ilk fonksiyonla çarptım ve bu iki sonucu topladım.--Böylece uzaklık formülünün açıya göre türevinin, (2s^2) bölü g çarpı parantez içinde –sin(teta) çarpı cos(teta) artı cos(teta) çarpı cos(teta) ya eşit olduğunu görürüz.-------çarpım kuralını uygulayarak türevi bulduk.-Elde ettiğimiz sonucu basitleştirebiliriz.Uzaklığın açıya göre türevi eşittir 2s kare(2s^2) bölü g çarpı parantez içinde –sin(teta)nın karesi artı cos(teta)nın karesi.------Bu türevi 0 yapan açı değerini hesaplamak istiyorduk.--Şimdi bulduğumuz sonucu 0’a eşitleyelim ve açıyı bulalım.-İlk olarak, eşitliğin her iki tarafını da (2s^2) bölü 2’ ye böleriz. ((2s^2)/g‘nin 0 olmadığını varsayıyorum.)-Eşitliğin sol tarafında (2s^2) bölü g ler birbiriyle sadeleşir-ve sağ taraf ise hala 0’a eşittir.---Mavi ile yazalım.--Yani –sin(teta)nın karesi artı cos(teta)nın karesi 0’ dır.-Eşitliğin her iki tarafına sin(teta)nın karesini ekleriz--ve böylece cos(teta)nın karesinin, sin(teta) nın karesine eşit olduğunu görürüz.---Eşitliğin iki tarafı da 0 ile 90 derece arasında pozitiftirve bundan dolayı her iki tarafın pozitif karekökünü alabiliriz ya da he iki tarafın asıl köklerini bulabiliriz.---her iki tarafın da asıl kökünü alalım.--Aslında her iki tarafı cos(teta)nın karesine bölmek ilk yoldan daha ilginçtir.---bunun için cos(teta)nın 0 ile 90 arasında 0 değerini almadığını varsayıyoruz.---Her iki tarafın karekökünü ya da asıl kökünü alarak da sonuca ulaşabilirsiniz-fakat ikinci yöntem az önce söylediğim gibi daha ilginç.Her iki tarafı da cos(teta)nın karesine bölersek sin(teta) nın karesi bölü cos(teta)nın karesinin 1’e eşit olduğunu buluruz.-Daha basit bir şekilde ifade edelim: sin(teta) bölü cos(teta)nın karesi 1’e eşittir.-----Sin(teta) bölü cos(teta)nın tan(teta)ya eşit olduğunu biliyoruz.--Yani elimizde tan(teta)nın karesi eşittir 1 denklemi var.Tanjant, 0 ile 90 derece arasında hep pozitif değer aldığından dolayı her iki tarafın pozitif karekökünü alabiliriz---ve bu işlemi yaparsak tan(teta)nın 1’e eşit olduğunu buluruz.--Şimdi her iki tarafa arctan fonksiyonunu uygulayalım.Ve böylece tetanın, arctan(1) e eşit olduğunu görürüz.---Açıyı bulmak için hesap makinenizi kullanabilir ya da hafızanızı yoklayabilirsiniz.-Bu eşitliği sağlayan açı 45 derecedir.Radyan cinsinden yazarsak, açımız pi bölü 4 e eşit olur.-Her ikisi de işimize yarar.Yani, cismin en uzak mesafeye gitmesi için attığımız andaki yatayla yaptığı açı 45 derecedir.-Peki cismi 45 derece ile attığımızda en uzak mesafe neye eşit olur?-Bunu öğrenmek için orijinal formülümüze geri dönelim.----Sin(45),karekök iki bölü 2’ye eşittir.-Bunu hesaplamak için hesap makinesi kullanabilirsiniz ya da belki birim çemberden biliyorsunuzdur.-Cos(45) de karekök 2 bölü 2’ye eşittir.Eğer sin(teta)nın karesi bölü cos(teta)nın karesi eşittir 1 denkleminin karekökünü alsaydık,sin(teta) bölü cos(teta)nın ancak 45 derecede 1’ e eşit olduğunu görürdük.---Ve şimdi elimizde olan değerleri uzaklık formülünde yerine koyalım.-Cismi, yatayla 45 derece açı yapacak şekilde attığımızda gidebileceği en uzak mesafenin, (2s^2) bölü g çarpı (karekök 2 bölü 2) çarpı (karekök 2 bölü 2)ye eşit olduğunu buluruz.-----Karekök 2 çarpı karekök 2, 2 ‘ye eşittir----ve 2’ler birbiriyle sadeleşir.-Sonuç olarak, cisim yatayla 45 derece açı yapacak şekilde atılırsa ulaşacağı en uzak mesafe (s^2) bölü g’ dir.-Hava direncinin olmadığını ve ideal bir durumda olduğumuzu varsayıyoruz.Hava direncinin olmadığını varsayarsak hangi gezegende olduğunuz ya da hangi hızla gittiğiniz önemli değildir,--, her halükarda açı 45 derece çıkar ve cismi bu açı ile atarsanız, (s^2) bölü 2 kadar mesafe kat edersiniz.-Orjinal probleme geri dönersek, diyelim ki s, 10 (m/s) metre bölü saniye olsun.---Ve diyelim ki yer çekimi ivmesinin 10 metre bölü saniye kare olduğu bir dünyada yaşıyoruz.Verileri yerine koyalım:s’nin karesi 100’dür ve 10’a böldüğümüzde elimizde 10 kalır.---Ayrıca s’nin birimi metre bölü saniyedir ve bunun karesini alırsak metre kare bölü saniye kare buluruz.-İvmenin birimi ise metre bölü saniye karedir.Bu ikisini sadeleştirirsek sonucu metre buluruz.-Yani en uzak mesafe 10 metredir.Oldukça zarif