0.Sinüs 0 nedir?Sinüs 0 eşittir 0.f üssü 0 eşittir kosinüs 0. Bu da 1.--0'daki ikinci türev, eksi sinüs 0.Sinüs 0, hala 0. Demek ki, bu türev de 0.-Gördüğünüz gibi, kosinüs x'in Maclaurin serisindekine benzer bir örüntü var.-Ve sonra, 0'daki üçüncü türev.Kosinüs 0, o da eşittir 1.Ama başında eksi var, yani eksi 1.Bunu zaten biliyorduk.Dördüncü türev 0. Sinüs 0 eşittir 0.-Ve, döngü tekrardan başlıyor.Beşinci türev de 1.0'la başlıyoruz. Sonra, artı 1, sonra 0, sonra eksi 1, sonra 0, sonra artı 1.-İki sayıdan biri 0.Maclaur

in serisindeki ardışık iki katsayıdan biri 0.-İçinde faktöriyel olmayan katsayı.Aradaki katsayılar ise, dönüşümlü olarak, artı 1 ve eksi 1.-O zaman, sinüs x'in Maclaurin serisi nedir?-Hatırlarsanız, henüz sinüs x, kosinüs x veya e üzeri x'in Maclaurin serilerinin bu fonksiyonlara eşit olduğunu kanıtlamamıştım.---Bunu daha sonra yapabilirim.İspatın üzerinde düşünüyorum, ama tam mantığını oturtabilmiş değilim.-Serileri denediğiniz zaman, son derece mantıklı geliyor.-Ama, sadece sözüme inanmamalısınız.İspatı araştırıp, en sonunda size göstereceğim.-Ama şimdilik, Maclaurin serilerinin sadece 0 civarında yakınsama sağlamayıp, aynı zamanda fonksiyonlara eşit olduğuna inanmanızı istiyorum.---Şimdi, sinüs x.Maclaurin serisi şöyle olacak: f 0, yani 0, artı birinci türev, 1, çarpı x üzeri 1, bölü 1 faktöriyel, ki bu da 1.---Bu da 1.Ve, şimdi -burası artı 0- eksi - üçüncü türevdeyiz- 1 çarpı x küp bölü 3 faktöriyel.--Sonra yine 0.Sonra da artı 1.Bu, şimdi beşinci türev, yani x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel.-Böyle devam ederiz, ama sanıyorum, örüntüyü anladınız.-Sinüs x eşittir, 0, yani ilk terim x. x eksi x küp, bölü 3 faktöriyel, artı x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel.--Örüntüyü tahmin edebiliyorsunuz.x'in tek kuvvetlerini alıyoruz. Eksi x üzeri 7, bölü 7 faktöriyel, artı x üzeri 9, bölü 9 faktöriyel, eksi x üzeri 11, bölü 11 faktöriyel, ve böyle devam eder.---İşaretler dönüşümlü olacak ve tek üsleri kullanacağız.-Şimdi, bunu sigma notasyonu kullanarak yazmak istersem. Sigma notasyonu, genelde, işin zor tarafı.-Birinci terimin işareti pozitif.--İşaretler dönüşümlü olduğu için, eksi 1'in kuvvetini kullanacağız.-Eksi 1 üzeri n artı 1.Bakalım, bu işe yarıyor mu.Bu ilk terim ise, yok, işe yaramıyor.-Eksi 1 üzeri 2n artı 1.Sanıyorum, bir önceki videoda da aynı şeyi yapmam gerekiyordu.-Eksi 1 üzeri n yerine eksi 1 üzeri 2n olması gerekiyordu.-Bu hata için özür dilerim.Yani, eksi 1 üzeri 2n artı 1, çarpı x üzeri 2n.Pardon, pardon, bir önceki videoda hata yapmadım.0'lı terimleri saymadığım için, kafam karıştı.-Önce sigmayı yazmam daha iyi olur.Şimdi, n eşittir 0'dan sonsuza...-İlk terim pozitif olduğuna göre, eksi 1 üzeri n olacak,öyle değil mi?-Çünkü, eksi 1 üzeri 0 eşittir 1.Bu, pozitif, ve ikinci terim negatif. Sonra da pozitif, negatif gidiyor.-n eşittir 0 için terimimiz x. O zaman, x üzeri 2n artı 1.-Bu olur mu?Evet, çünkü n eşittir 1'in terimi 3'lü olacak.Tamam, x üzeri 2n artı 1, bölü 2n artı 1 faktöriyel.Böyle yazdığınız zaman, daha kolay oluyor.Bu bayağı ilginç.Ama daha da ilginci, sinüs x ve kosinüs x'in Maclaurin serileri arasındaki benzerlik.---Bir önceki videoda, kosinüs x eşittir, 1 eksi x kare bölü 2 faktöriyel, artı x üzeri 4, bölü 4 faktöriyel, eksi x üzeri 6, bölü 6 faktöriyel, artı x üzeri 8, bölü 8 faktöriyel, diye bulmuştuk.---Neredeyse, birbirinin tersi, öyle değil mi?Birbirlerini tamamlıyorlar.Kosinüsteki terimlerde, çift üsler ve çift sayıların faktöriyelleri var.-Sinüste ise, tek üsler var, çünkü burada x üzeri 0 var, öyle değil mi?-O yüzden buraya 1 yazıyoruz.Sinüsün terimlerinde ise, tek üsler ve paydada tek sayıların faktöriyelleri var.-Bence, bu çok güzel.Esas güzel olan, trigonometriden bildiğimiz üzere, sinüsün ötelenmiş bir kosinüs fonksiyonu olması. Aynı şekilde, kosinüs de, ötelenmiş bir sinüs fonksiyonudur.---Sağa veya sola Pi bölü 2 öteleyerek bulduğumuz fonksiyonları, tek veya çift üslü terimler seçerek de ifade edebilmemiz süper.-----Neyse.Bunun ne kadar mükemmel olduğunun farkındaysanız, sonda söylediklerimi anlamasanız da olur.-Bir sonraki videoda görüşürüz.