39;ye eşittir.Sonra artı f'nin 0'daki üçüncü türevi çarpı x küp bölü 3 faktöriyel.Artı dördüncü türev... Sanıyorum örüntüyü anladınız.0'daki dördüncü türev çarpı x üzeri 4 bölü 4 faktöriyel vesaire.-Bize sinüs x'in Taylor serisinin ilk dört sıfır dışı terimini soruyorlar.-Bazılarınız bunu biliyor olabilir. Euler özdeşliğini anlattığımız videoda bunu yapmıştık, ama burada yeniden bulalım.-Adına g x diyelim, çünkü f x burada tanımlanmış.--g x eşittir sinüs x diyoruz. g 0'ın 0'a eşit olduğunu biliyoruz.-Türev alırsak, g üssü x kosinüs

x olacak.-Kosinüs x, g üssü 0 eşittir 1.Kosinüs 0 eşittir 1. Şimdi ikinci türevi alıyoruz.Kosinüs x'in türevi eşittir eksi sinüs x.Ve 0'daki ikinci türev yine 0 olacak. Sinüs 0 eşittir 0.-Şimdi üçüncü türevi alalım.Fonksiyonumuzun üçüncü türevi, eksi sinüs x'in türevi eşittir eksi kosinüs x.-Ve 0'daki üçüncü türev eksi 1'e eşit olacak. Böyle devam edebiliriz.-Bunun nereye varacağını tahmin edebilirsiniz. Ama yine de devam edeyim.-Dördüncü türev yine sinüs x olacak. Ve 0'daki dördüncü türev de fonksiyon değeriyle aynı olduğu için 0'a eşit olacak.---Yani g'nin 0'daki dördüncü türevi buna eşit olacak.Böyle devam edebiliriz. Bu, döngümüz nedeniyle g'nin beşinci türeviyle aynı olacak.--Bu, 0'daki beşinci türevle aynı olacak.Şu da 0'daki altıncı türevle aynı olacak.Buradaki eşittir işareti olacak.Bu da 0'daki yedinci türevle aynı olacak. İlk dört sıfır dışı terimi istiyoruz. Çözelim.--İlk olarak f 0.g x'e yakınsamak istiyorsak, sinüs x'e yakınsamak istiyorsak, sinüs x yaklaşık eşittir deriz.--Buradaki ilk terim, sinüs 0, g 0'dır.-Bu 0 olur, yani yazmamıza gerek yok.Sonra şuradaki terime gideriz. f üssü 0, bu durumda g üssü 0 eşittir 1.--Yani1 çarpı x olacak. Burada bir x olacak.Bir sonraki terim de 0, bunu görüyoruz, çünkü fonksiyonumuzun 0'daki ikinci türevi 0'a eşit.-Fonksiyonumuzun 0'daki üçüncü türevi 1.Yani bu terim yazılacak.Aslında bu terim eksi 1 - burada hata yapmak istemiyorum - eksi 1. Türev, eksi kosinüs x'ti.-Eksi kosinüs x'in 0'daki değeri eksi 1'dir.-Yani buradaki üçüncü türev, eksi 1'e eşit.Yani eksi x küp bölü 3 faktöriyel yazabiliriz.Dördüncü türev yine 0.0'daki beşinci türev eşittir 1. Artı 1 çarpı x üzeri 5 bölü 5 faktöriyel.-Altıncı türev 0, yani o terim yok olacak.Buraya yazmadım bile.Ve yedinci terimin katsayısı eksi 1.Veya 0'daki yedinci türev eksi 1'e eşit.Eksi 1 çarpı x üzeri 7 bölü 7 faktöriyel.Taylor serisinin ilk dört sıfır dışı terimini bulmak için yedinci dereceden terime kadar gitmek zorunda kaldık.-Böylece birinci bölümü bitirmiş olduk.Sinüs x'in ilk dört sıfır dışı terimini bulduk.Peki sinüs kare x ne olacak?Veya sinüs x kare. Burada dikkat etmemiz gerekiyor.Bu formüle koymak isteyebilirsiniz, ama ikinci ve üçüncü türevleri almaya başladığınızda işlemlerin çok karıştığını göreceksiniz.---Ama şöyle diyebilirsiniz. Sinüs x yaklaşık olarak bu ifadeye eşitse, x'in yerine x kare koyarsam ne olur?-Sinüs x kareyi bulmak için, burada x'in küpü yerine x karenin küpünü alacağım, bölü 3 faktöriyel.--Burada da x üzeri 5 yerine x kare üzeri 5 bölü 5 faktöriyel diyebilirim.-Ve x üzeri 7 yerine x kare üzeri 7 derim, bölü 7 faktöriyel.-Burada farkına varmanızı istediğim çok önemli bir nokta var.Çünkü doğrudan 0 etrafında Taylor serisini bulmaya kalksanız, tüm zamanınızı türev almaya harcardınız ve işlemlerin karışıklığı yüzünden bunu da başaramazdınız.---Buradaki esas olay, x yerine x kare koyarak sinüs x kare yakınsamasını elde edebileceğimizdir.--Bunu biraz sadeleştirebiliriz.Bu, yaklaşık eşittir x kare eksi x üzeri 6 bölü 3 faktöriyel artı x üzeri 10 bölü 5 faktöriyel eksi x üzeri 14 bölü 7 faktöriyel.---Sorunun ikinci kısmı da böyle