x kare artı kosinüs x eşittirkarekökü x.Bunu şimdi uydurdum.Burda cevap bir sayıdır ya dasayılar kümesidir.Bazen birden fazla cevap vardır dimi?Eğer bir polinomnuz varsa birden fazlax değeri bu denklemin çözümüdür.burda diferansiyel denklemlerde çözümbir fonksiyondur.Burdaki amacımız x'in hangi fonksiyonu ki burdax'in f fonksiyonunu açık olarak yazdım,x'ın hangi fonksiyonubu denklemi ya da bu ilişkiyi doğrular.Bununla ne demek istediğimi göstereyim.Bende kolejden kalma diferansiyel denklemler kitabı varkonuyu iş

lerken onu kullanacağım.Eveeet,şöle diyelim şimdi yazıyorumBakın böyle bir diferansiyel denklem varAma size nasıl çözüleceklerini daha göstermicemçünkü bazı püf noktalarını öğrenmeniz gerek önce.Bu noktada başlamanın iyi olduğunu düşünüyorum ki böylecediferansiyel denklemlerin ne olduğunu anlar vegeleneksel denklemlerle karıştırmazsınız.Evet şimdi ellerinde y üstü üstünün diferansiyeli(?türevi)var.Şimdiii y'nin x'e göre ikinci türevi artıiki çarpı y 'nin x'e göre birinci türevi eksi üç yeşittir sıfır.Ve bize çözümleri de veriyorlar.Bizden yapmamızı istediklerıbu çözümlerin doğruluğunu kanıtlamamızdır.Bence bu nokta diferansiyel denklem ne demek ve çözümüne demek anlayabileceğimiz iyi birnoktadır.Eveet ynin ılk değeri e üzeri eksi üç x miş.Bunun denklemin çözümü olduğunusöylüyorlar.Ben de size bunun doğru olduğunu göstericem.Eveet şimdi y1 y neydi eveet şimdisadece y1 yazayım.y1 üstü nedir?Bunun türevi nedir?Şimdii gelin zincir kuralını uygulayalım.tüm fonsiyonun bu kısma göre türevisadece e üzeri eksi üç x dir.Sonra iç kısmın türevini alıyorsun.Dış kısmın türevi e üzerieksi üç x.Vee iç kısmın türevi eksi üç tür.Veee y1 in ikinci dereceden türevi eşittir sadecebununtürevini alıcaz ve bu eşittir artıdokuz eksi üç çarpı eksi üç e üzeri eksi üç x.Şimdi y1 ve türevlerini budiferansiyel denkleme yerleştirirsek, eşitlik olacağınıgöreceğiz.y üstü üstü bu.Böylece elimizde olan dokuz e üzeri eksi üç x artı iki y üstüartı iki çarpı y üstü.Evet bu y üstüBöylece iki kere eksi üç e üzeri eksi üç x artı oh özür dilerimeksi üç çarpı y.Eveeet,y budur.Eksi üç kere e üzeri eksi üç x.Güzeeel şimdi bu neye eşittir?Dokuz e üzeri eksi üç x eksi 6 e üzeri eksi üç xeksi üç e üzeri eksi üç x.Tamam.Şimdi bu neye eşittir?Elimizde bir şeyden dokuz tane eksi altı taneeksi üç tane var.Bu eşittir sıfır.Neyin sıfırı olduğu mühim değil.Evet sıfıra eşittir.Böylece bu diferansiyel denklem için y1 eşittir e üzeri eksi üç xbir çözümdür.Şimdi burda enteresan bir durum var kibiz buna normal denklemlerde de değinmiştikbu yegane çözüm olmayabilir.Aslında bir kaç video sonra görücez ki genellikleçözüm tek bi fonksiyon olmayabilir.Çözüm bir fonksiyonlar sınıfı olabilir kibunlar hemen hemen aynı fonksiyonlar olupsabitleri farklıdır.Size bunu bi saniye içinde göstericem.Fakat burda bize bir çözüm daha veriyorlar,bu denklemeuygun olan,x in y2 değeri sadecee üzeri x'e eşittir.Biz de bunu ispat edebiliriz dimi?e üzeri x'in birinci ve ikinci dereceden türevleri nedir?Sadece e üst'dir.ü xVe y2 nin ikinci dereceden türevi eşittir e üzeri x artıiki çarpı birinci dereceden türev neye eşittir?e üzeri x in birinci dereceden türevi hala e üzeri xdir,iki e üzeri x ,eksi üç çarpı bir fonksiyon.Eksi üç e üzeri x.Eveeet bir artı iki eksi üç ,bu da eşittir sıfır.Bu da denklemin bir çözümüymüş demekki.Şimdi devam etmeden önce ,bir sonraki örnekte size bazıkarmaşık olmayan diferansiyel denklemler i çözmeniz içinvereceğim.Bunun iyi bir zamanlama olduğunu düşünüyorum.Ümit ederim ki şimdiye kadardiferansiyel denklemler ve çö zümleri hakkındabir fikriniz olmuştur.Veee çözüm bir sayı değildir,çözüm bir fonksiyonduryada fonksiyonlar kümesidirya da bir fonksiyon sınıfıdır.Biraz da terminolojiyi tekrar etmenin tamzamanıdır.Şimdiii iki büyük sınıf var.Aslında ilk bir tane büyük grup var,adi ve kısmidiferansiyel denklemler.Bunun ne demek olduğunu tahmin edersiniz sanırım.Adi differansiyel denklem benim y azdığım gibidir.Bir değişkene göre başka bir değişken,ya dabir değişken x ve onun türevlerine göre bir fonksiyon.Kısmi diferansiyel denklemlerden daha sonra bahsedeceğiz.Onlar daha karmaşık.Onlarda bir fonksiyon birden fazla değişkeninfonksiyonu olabilir.Ve x'e göre y'ye göre ve z'ye göre türevalmanız gerekebilir.Şimdilik bunları kafaya takmayacağız.Eğer fonksiyonlarınız ve onların türevleri sadecetek değişkenin fonksiyonu ise elimizdekiadi diferansiyel denklemdirBiz burda adi diferansiyel denklemleriişleyeceğiz.Adi diferansiyel denklemleri ikişekilde sınıflandırabiliriz kibunlar biraz da kesişmektedir.Derecemiz var,evet benim diferansiyel denklemiminderecesi nedir?Bi de linear olup olmadığıvar.Bunu anlatmanın en iyi yolu bazıörnekler yazmaktır.Bir tane yazalım bakalım.Bu örneği yine kolejdekikitabımdan alıcam.x kare çarpı y nin x e göre ikinci dereceden türevi,artı x çarpı ynin x e göre birinci dereceden türevi,artı iki y eşittir x in sinüsü.Şimdi ilk sorumuz :Derece nedir?Denklemin derecesi denklemde yer alan türevlerdenen yüksek dereceli olanın derecesidir.Yazdığımız denklemdeki en yüksek türevderecesini arıyoruz di miÇ özüm bu denkleme uyan bir x e bağlıy fonksiyonudur.Derece de o fonsiyonun en yüksek türev derecesidir.Bu örnekte en yüksek dereceli türev ikinci derecedir.Bu nedenle denklemin derecesi de ikidir.Biz bu denkleme ikinci dereceden adi diferansiyel denklemdiyebiliriz.İkinci olarak yapacağımız bu denklem doğrusal mıdeğil mi bulmak.Eveet,bir diferansiyel denklemin doğrusal olması demektüm fonksiyonlarının ve türevlerinin doğrusal olmasıdemektir.Daha iyi bir kelime maalesef yok.Bu ne demek?Demek istediğim bir y kare ok,ya da dy bölü dx in karesiya da y çarpıy nin ikinci dereceden türevi.Burda yazdığım örneğe bakalım.Bu ikinci derecedendoğrusal bir denklem çünkü ikinci dereceden türev ,birincidereceden türev ve var ama bunlar fonksiyonla veya onuntürevleri ile çarpılmamış.Eğer bu denklem şöyle olsaydı eğer şöyle yazsaydım x kare d,y nin x e göre ikinci dereceden türevinin karesi,eşittirx in sinüsü,ve bunun birde karesini alsaydımŞimdi birdenbire doğrusal olmayan birdiferansiyel denklemimiz olur.Bu doğrusal değil.Bu doğrusal.Çünkü karesini aldım.y nin x e göre ikinci dereceden türevinikendisi ile çarptım.Bir başka doğrusal olmayan denklem örneği eğer şöyle dersemçarpı y nin x e göre ikinci dereceden türevieşittir x in sinüsü.Bu da doğrusal değil çünkü bir fonksiyonu onunikinci dereceden türevi ile çarptım.Bakın burda da birşeyi ikinci dereceden türevi ile çarptımfakat bu çarptığım bağımsız değişkenx idi.Neyse zamanım doldu ama ümit ederim kibu size diferansiyel denklemler hakkında genel birizlenim vermiştir.Bir sonraki videoda denklemleri çözmeye başlayacağız.Yakında görüşmek üzer