17 HAZİRAN 2008, Salı

Basit Diferansiyel Denklemler

-Diferansiyel denklemlere başlangıç videosuna hoş geldiniz.-Diferansiyel nedir?Örneğin y eşittir 3 x dersek.-Denklemin iki tarafının türevini alırsak - notasyonumuza göre, d y bölü d x eşittir 3 diyebiliriz.--Denklemin iki tarafının türevini aldık.Burada diferansiyel notasyon da kullanabilirdiniz.d y bir diferansiyel, d x de bir diferansiyel.Peki, diferansiyel nedir?Diferansiyelin anlamı, sonsuz küçüklükte bir değişimdir.y'de böyle bir değişim alırsak, y diferansiyeli deriz, veya x'te sonsuz küçüklükte bir değişim de alabiliriz.-Yani diferansiyeli, bir fark gibi düşünebiliriz. Eğimi öğre

ndiğimizde, eğimin y'nin değişimi bölü x'in değişimi olduğunu söylemiştik.-Veya y'lerin farkı bölü x'lerin farkı da diyebiliriz.Eğrilerin eğimlerini almaya başladığımızda, bu farkı ve şu farkı 0'a yaklaştırmak dur

umunda kalmıştık.-Diferansiyel de aynen bu demek.Diferansiyel sonsuz küçüklükte bir farktır.-Peki, diferansiyel denklem nedir?İçinde diferansiyel olan bir denklemdir.Örneğin, bu bir diferansiyel denklemdir.

“Her iki tarafın Antitürev'in alarak çözülebilir 3 temel diferansiyel denklemler....”
Khan Academy

Bu, çözeceğimiz ilk örnek olacak.d y bölü d x eşittir x kare artı 1.Bu diferansiyel denklemi nasıl çözeriz?Bu denklemi birkaç değişik şekilde ifade edebiliriz.Bunun f üssü x ile aynı şey olduğunu söyleriz ve iki tarafın terstürevini alırız.--Ama şimdi bunu bir diferansiyel denklem olarak çözelim.Bu diferansiyelleri sayı gibi işlemlerde kullanabiliriz.-Burada ne yapabiliriz?Denklemin iki tarafını d x ile çarpalım.y'deki en küçük bir değişim, x kare artı 1 çarpı x't

Basit Diferansiyel Denklemler Resim 1 Basit Diferansiyel Denklemler Resim 2 Basit Diferansiyel Denklemler Resim 3 Basit Diferansiyel Denklemler Resim 4

e çok küçük bir değişime eşit olur.-Veya şöyle de diyebilirsiniz. x'teki en küçük bir değişimin y'yi ne kadar değiştirdiğini bulmak istiyorsanız x kare artı 1 ile çarparsınız.--Bunun bize ne faydası olur?İki tarafın terstürevini veya integralini alalım.-İntegral alma, belirli integral, alan videolarını izlediyseniz, integralin bir sonsuz toplam, sonsuz küçüklükteki d y'lerin sonsuz toplamı olduğunu biliyorsunuzdur.---d y'deki bütün değişimleri toplarsanız denklemin bu tarafında y kalır.-İntegral hakkındaki videoları te

krar izlemek isteyebilirsiniz.-O zaman bu nedir?Bu, x kare artı 1'in belirsiz integralidir.-Yani bu da bunun terstürevidir.x kare artı 1'in terstürevi nedir?x küp bölü 3.Türevin tersini alıyoruzTerstürev hakkındaki videoları tekrardan izleyin.8 veya 9 tane var galiba.artı x ve artı c.c nereden geliyor?Sabit bir değerin türevini aldığımız zaman türev sıfıra eşit olur.-O nedenle terstürev alırken, burada bir sabitin olabileceğini düşünüyoruz.-artı c de oradan geliyorBu diferansiyel denklemin çözümü böyle.Burada ilginç bir durum var.Geleneksel denklemlerde çözüm bir sayı olur, öyle değil mi?-Örneğin, y eşittir 2 y eksi 1 denkleminde, eksi y eşittir eksi 1 buluruz, ve y eşittir 1 deriz.--Bu, geleneksel bir denklem ve çözümü sadece bir değerdir -değişkenin değerini bulursunuz.-Diferansiyel denklemler bundan farklıdır.Çözüm bir fonksiyondur.Bu diferansiyel denklemi hangi fonksiyonun sağladığını bulursunuz.-Bu aklımızda bulunması gereken bir şey.Şimdilik çok temel diferansiyel denklemler çözüyoruz ama diferansiyel denklemlerin her türlüsünü çözerken bunu unutmayalım.--Üniversitede diferansiyel denklemlere başlangıç dersinde göreceğiniz türden soruların çözüldüğü videolar da hazırlamayı düşünüyorum.--Ama bu olgu kısmi diferansiyel denklemler için de geçerlidir.-Diferansiyel denklemin çözümü bir sayı değildir, bir fonksiyondur.-Neyse, bu bir diferansiyel denklemin genel çözümüydü.-Eğer tekil bir çözüm istiyorsanız, genelde başlangıç değerleri veya fonksiyon üzerinde nokta verilmesi gerekir.-Bunları yerine koyarsınız.Bu soruda d y d x eşittir x kare artı 1 demiştik. x 1 olduğunda, y 1 olur dediklerini düşünelim.---c'yi bulmak için bu bilgiyi kullanabilirizBunu nasıl yapabilirsiniz?y'nin 1'e eşit olduğu verilmiş1 eşittir 1/3 diyeceğiz çünkü 1'i x'in küpü bölü 3'e koyunca 1/3 buluruz.Sonra +1 ve c yazacağız.Bakalım ne yapabiliriz?İki taraftan 1 çıkarınca burası 0 olur.İki taraftan 1 bölü 3 çıkarınca c'nin eksi 1 bölü 3'e eşit olduğunu buluruz.-Bu koşulları, fonksiyon üzerindeki bir noktayı kullanarak bu diferansiyel denklemin bir tekil çözümünü elde edebiliriz.--Çözüm, y eşittir x küp bölü 3 artı x eksi 1 bölü 3 olur. c'yi bulmuş olduk.-Bana inanmıyorsanız, bu ifadeyi alın, buraya koyun. y'nin x'e göre türevini aldığınızda, x kare artı 1'e eşit olduğunu görürsünüz.---Başka bir soru yapalım.-Bu soru biraz daha ilginç. d y d x eşittir x bölü y ve başlangıç değerleri bir önceki soruyla aynı olsun.--y 1 olduğunda, x 1 olsun.Veya x eşittir 1 olunca y eşittir 1.Bu denklemi sağlayan fonksiyonu bulalımBu, ilginç bir soru çünkü denklemin sağ tarafında x ve y var.-Bu, kapalı bir fonksiyon türevine benziyor.-Bakalım ne yapabiliriz?Aynı yöntemi uygulayalım.Denklemin iki tarafını d x ile çarpalım. d y eşittir x bölü y çarpı d x elde ederiz.-y'yi d y'nin olduğu tarafa alalım. Böylelikle terstürev almak kolaylaşacak.-y çarpı dy eşittir x dx olur.İki tarafın integralini alabiliriz veya bu tarafın y'ye göre terstürevini ve bu tarafın x'e göre terstürevini alırız.----Buradaki terstürev nedir?y kare bölü 2.Artı c, bir sabit diyeceğim.-Burada bir sabit olabilir.Buna c 1 diyeceğim.Bu sabitin kaça eşit olduğunu bilmiyoruz.Burası da x kare bölü 2 artı c 2 oluyor, değil mi?Veya başka bir sabit.Belki aynı sayıdır, bilemem.Bunların değerini bilmiyoruz.Bunu yeniden şu şekilde yazabilirim -bakalım, ne yapabilirim?x'li terimi diğer taraftan çıkarayımy kare bölü 2 eksi x kare bölü 2 eşittir diyeceğim. Bu değeri o taraftan çıkarayım ki sabitler aynı tarafta olsun.--c 2 eksi c 1.c 1'i alıp sağ tarafa koydum, x kare bölü 2'yi sol tarafa koydum. O nedenle eksi oldu.---Bu herhangi bir sayı olabilir, bu da herhangi bir sayı olabilir.-Herhangi iki sabitin farkı da üçüncü bir sabittir.-Buna c diyeceğim.Yani bu diferansiyel denklemin genel çözümü, y kare bölü 2 eksi x kare bölü 2 eşittir c olacak.-Bunu biraz sadeleştirelim.-Denklemin iki tarafını 2 ile çarpalım ve y kare eksi x kare eşittir 2 c diyelim.-Bu hala herhangi bir sabit olduğuna göre, bunu yine c olarak yazabiliriz.-y kare eksi x kare eşittir c.Şimdi başlangıç değerlerini kullanarak c'yi bulalım.y 1 olduğunda, 1 kare eksi x eşittir 1, 1 kare eşittir c. Burası 1 eksi 1, yani 0, öyle değil mi?-c 0'a eşit.Öyleyse, bu diferansiyelin denklemin tekil çözümü nedir?-Yeşil rengi kullanacağım.y kare eksi x kare eşittir 0.İki tarafa x kare ekleyebiliriz.Bunu y kare eşittir x kare olarak da yazabiliriz.İki tarafın karekökünü alıp y eşittir x demek isteyebilirsiniz.-Bu doğru olmayacaktır, çünkü x eksi 2 y 2 olabilir veya tam tersi olabilir.-Bu değerler bu denklemi sağlar, ama şu denklemi sağlamaz.-O nedenle karekök alırken dikkatli olun.Artı ve eksiye dikkat etmeniz gerekir.Bir soru daha çözelim.-y'nin x'e göre türevi eşittir, bu daha da ilginç, karekök x bölü y.---Ayrıca x 1'e eşit iken y'nin 4'e eşit olduğu da verilmişEvet bunu doğru okuyorum.Bunu da diğerlerine benzer bir biçimde çözebiliriz.Aynı adımları uygulayalım.Denklemin iki tarafını d x ile çarpalım.d y eşittir-bir adımı atlamak için bunu x'in karekökü bölü y'nin karekökü şeklinde yazacağım. Ve iki tarafı d x ile çarpacağım.---İki tarafı karekök y ile çarpalım.-Bunu y üzeri 1 bölü 2 olarak yazarım.Karekök y d y eşittir x üzeri 1 bölü 2 çarpı d x.-Bunu çarptım ve y üzeri 1 bölü 2 olarak yazdım.-y üzeri 1 bölü 2'nin terstürevi nedir?Bu artı 1, yani y üzeri 3 bölü 2 çarpı bunun çarpmaya göre tersi.-Çarpı 2 bölü 3.-Veya bunu 3 bölü 2 ile bölebilirdiniz.Eğer bundan emin değilseniz, çünkü kesirler bazen kafa karıştırıcı olabilir, türev alın.--3 bölü 2 çarpı 2 bölü 3 1'e eşit olur ve üsten 1 çıkarınca yine y üzeri 1 bölü 2 elde ederiz.-Çözüm böyle.Ve sonrasında yine artı c 1 diyoruz.Bu tarafta da aynı şey çıkacak, 2 bölü 3 x üzeri 3 bölü 2 artı c 2 olacak. Şimdi ne yapacağız?-x'i denklemin sol tarafına alalım. Böylece 2 bölü 3 y üzeri 3 bölü 2 eksi 2 bölü 3 x üzeri 3 bölü 2 eşittir c 2 eksi c 1 elde ederiz. Bunu da c olarak yazabiliriz.--Denklemin iki tarafını 3 bölü 2 ile çarpalım. Böylece bunlar 1 olsun.-y üzeri 3 bölü 2 eksi x üzeri 3 bölü 2 eşittir 3 bölü 2 çarpı c elde ederiz.-Değerinin ne olduğunu henüz bilmediğimiz için, c diyoruz.-Umarım bu kafanızı karıştırmaz.3 bölü 2 c yazıyoruz, çünkü ne olduğunu bilmiyoruz.Buna c 3 dersek, bu da c 4 olur.Farklı bir sabit, ama yine de değerini bulmak zorundayız.Başlangıç değerlerini kullanalım.Aslında başlangıç değeri olmak zorunda değiller.-Tekil çözümü veren değerler de diyebilirsiniz.--4 üzeri 3 bölü 2 eksi 1 üzeri 3 bölü 2 eşittir c diyeceğiz4 üzeri 3 bölü 2 nedir?4 üzeri 1 bölü 2 eşittir 2, bunun küpü eşittir 8.1'in herhangi bir üssü, bu durumda karekökü eşittir 1.-Bunun küpü de 1.8 eksi 1 c'ye eşittir.O zaman c 7'ye eşittir.Bu diferansiyel denklemin tekil çözümü, y üzeri 3 bölü 2 eksi x üzeri 3 bölü 2 eşittir 7.--

Açıklama

Her iki tarafın Antitürev'in alarak çözülebilir 3 temel diferansiyel denklemler.

Bunu Paylaş:
  • Google+
  • E-Posta
Etiketler:

Khan Academy

Khan Academy

Misyonumuz, her yerde herkes için dünya standartlarında bir eğitim sağlamak. Tüm Khan Academy içerik www.khanacademy.org adresinden ücretsiz olarak sunulmaktadır.

YORUMLAR



9.6/10

  • 412
    Olumlu
  • 14
    Olumsuz
  • 78
    Yorum
  • 306530
    Gösterim

SPONSOR VİDEO

Rastgele Yazarlar

  • ASUS

    ASUS

    22 EKİM 2005
  • george sarintzotis

    george sarin

    2 Aralık 2007
  • Paulo Bautista

    Paulo Bautis

    21 Aralık 2008

ANKET



Bu sayfa işinize yaradı mı?